Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b, G là trọng tâm. Chứng minh

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow A{G^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{C^2}} \right) = \frac{1}{9}\left( {{b^2} + {c^2}2bc.\cos A} \right)\)

\( = \frac{1}{9}\left( {{b^2} + {c^2} + 2bc.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right) = \frac{1}{9}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right)\)

Tương tự ta có: \(G{B^2} = \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}} \right);G{C^2} = \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \right)\)

\( \Rightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).