Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABM, ACN phía ngoài

Gọi I là trung điểm AB

Ta có: EI là đường trung bình của tam giác AMB

⇒ EI // MB

⇒ \(\widehat {AEI} = \widehat {AMB} = 60^\circ \)

Lại có: EI = \(\frac{1}{2}MB = AE;ID = \frac{1}{2}AC = AF\)

\(\widehat {EAF} = 360^\circ - 2.60^\circ - \widehat {BAC} = 240^\circ - \widehat {BAC}\)

\(\widehat {EID} = 360^\circ - 120^\circ - \widehat {BID} = 240^\circ - \widehat {BAC}\)(\(\widehat {BID} = \widehat {BAC}\) vì ID // AC)

Xét ∆EID và ∆AEF có:

EI = AE

\[\widehat {EID} = \widehat {EAF}\]

ID = AF

Suy ra: △EID = △ EAF (c.g.c)

⇒ DE = EF (*) và \(\widehat {IED} = \widehat {AEF}\)

Mà \(\widehat {AEI} = \widehat {IED} + \widehat {DAE} = 60^\circ \)

⇒ \(\widehat {AEF} + \widehat {DAE} = 60^\circ \) hay \(\widehat {DEF} = 60^\circ \)(**)

Từ (*) và (**) suy ra: DEF là tam giác đều.