Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý không thuộc các đường thẳng AB , BC , AC . Gọi A ′ , B ′ , C ′ theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm J , K , I của cạnh BC

21/22

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý không thuộc các đường thẳng $AB,BC,AC$. Gọi ${A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua các trung điểm $J,K,I$ của cạnh $BC,AC,AB$.

Biết ba đường thẳng $A{A^\prime },B{B^\prime },C{C^\prime }$ đồng quy tại một điểm (đặt điểm đó là $N$).

Khi đó $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động. Vậy điểm cố định đó là điểm nào?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý k (ảnh 1)$

Xét tứ giác $MB{A^\prime }C$ có hai đường chéo $BC,{A^\prime }M$ cắt nhau tại trung điểm $J$ của mỗi đường nên $MB{A^\prime }C$ là hình bình hành, suy ra: $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {M{A^\prime }} $ (1); mặt khác$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {M{A^\prime }} = 2\overrightarrow {MN} $ (2).

Cộng theo vế (1) và (2):

$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {M{A^\prime }} = \overrightarrow {M{A^\prime }} + 2\overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MN} $ (3).

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $2\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MG} $.

Vậy $MN$ luôn đi qua điểm $G$ cố định khi $M$ di động.