Cho tam giác ABC và điểm P thoả mãn | vecto PB +vecto PA − vecto PC | = | vecto PB + vecto PC −vecto PA | ,

Ta có \(|\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PA}  - \overrightarrow {PC} | = |\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  - \overrightarrow {PA} |\) tương đương với \(|\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {CA} | = |\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {AC} |\),

hai vectơ \(\overrightarrow {PB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) có giá vuông góc hay hai đường thẳng \(PB\)

và \(AC\) vuông góc. Tương tự điều kiện \(|\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PB}  - \overrightarrow {PA} | = |\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PA}  - \overrightarrow {PB} |\) tương đương \(|\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {BA} |\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {PC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) có giá vuông góc hay

hai đường thẳng \(PC\) và \(AB\) vuông góc. Từ đó \(P\) là trực tâm tam giác \(ABC\),

suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {PA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có giá vuông góc, tương tự cách làm Bài 4 ta suy ra

\(|\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {BC} | = |\overrightarrow {PA}  - \overrightarrow {BC} |\) hay \(|\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PC}  - \overrightarrow {PB} | = |\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  - \overrightarrow {PC} |\)