Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = DC, trên cạnh AC

a) Diện tích tam giác ABC là: \[\frac{1}{2} \times 90 \times 80 = 3\,600\] (cm²)

b) Ta có:

\[\frac{{{S_{ADC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \times h \times DC}}{{\frac{1}{2} \times h \times BC}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{\frac{1}{2}BC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\]

\[{S_{ABC}} = 2{S_{ADC}}\]

\[\frac{{{S_{DMC}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \times h' \times MC}}{{\frac{1}{2} \times h' \times AC}} = \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{\frac{2}{3}AC}}{{BC}} = \frac{2}{3}\]

\[{S_{DMC}} = \frac{2}{3}{S_{ADC}}\]

Do đó: \[\frac{{{S_{DMC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{2}{3}{S_{ADC}}}}{{2{S_{ADC}}}} = \frac{1}{3}\]

Hay: \[{S_{ABC}} = 3{S_{DMC}}\]

c) Ta có:

\[{S_{ABM}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\](do hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B và đáy \[AM{\rm{ }} = \frac{1}{3}AC\])

\[{S_{AMN}} = \frac{1}{2}{S_{ABM}}\](do hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M và đáy \[AN{\rm{ }} = \frac{1}{2}AB\])

Suy ra, \[{S_{AMN}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}} = \frac{1}{6} \times 3\,600 = 600\](cm²)

\[{S_{ABD}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\] (do hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A và đáy \[BD{\rm{ }} = \frac{1}{2}BC\])

\[{S_{BND}} = \frac{1}{2}{S_{ABD}}\](do hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D và đáy \[BN = \frac{1}{2}AB\])

Suy ra, \[{S_{BND}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} \times 3\,600 = 900\] (cm²)

\[{S_{DMN}} = {S_{ABC}} - {S_{DMC}} - {S_{AMN}} - {S_{BND}} = 3\,600 - 1\,200 - 600 - 900 = 900\](cm²)