Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM = 2/3 AB. Lấy N là trung điểm của AC; BN cắt CM tại I.

a) Vì tam giác AMC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ C và cạnh đáy AM = \(\frac{2}{3}\) AB nên \({S_{AMC}} = \frac{2}{3}{S_{ABC}} = \frac{2}{3} \times 600 = 400{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2})\)

b) Vì \(N\) là trung điểm AC nên AN = NC, và \(AM = \frac{2}{3}AB\), ta có:

\({S_{ABN}} = {S_{BNC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\) (Chung chiều cao hạ từ đỉnh B và đáy AN = NC)

\({S_{AMN}} = \frac{2}{3}{S_{ABN}}\)(Chung chiều cao hạ từ N và đáy \(AM = \frac{2}{3}AB\))

Suy ra \({S_{AMN}} = \frac{2}{3}{S_{BNC}}\)

c) \({S_{ABN}} = {S_{BNC}}\) nên chiều cao hạ từ \(A\) đến \(BN\) bằng chiều cao hạ từ \(C\) đến \(BN\)

\( \Rightarrow {S_{ABI}} = {S_{BIC}}\) (chung đáy \(BI\), và chiều cao hạ từ A xuống BN = chiều cao hạ từ C xuống BN) (1)

Ta có \({S_{BMC}} = \frac{1}{2}{S_{AMC}}\) (chung chiều cao hạ từ C và đáy BM = \(\frac{1}{2}\) AM)

Suy ra chiều cao hạ từ B xuống MC bằng \(\frac{1}{2}\) chiều cao hạ từ A xuống MC) (2)

Ta có \({S_{AIN}} = \frac{1}{2}{S_{AIC}}\) ( chung chiều cao hạ từ I và đáy AN = \(\frac{1}{2}\) AC) (3)

 

Từ (1) (2) (3) suy ra \({S_{ABI}} = {S_{AIN}}\)

Vậy \(BI = IN\) , do đó I là trung điểm của \(BN\)