Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ

Cách giải 1: (Hình 1)Xét △NBI ta có: IBN^=B2^+B3^ mà B2^=CP^2; B3^=NAC^ (Góc nội tiếp chắn cung NC^); NAC^=BAC^2
Do đó IBN^=A^+B^2

BIN^=A1^+B1^=A^+B^2 (Góc ngoài của tam giác ABI)
⇒IBN^=BIN^=> △NBI cân tại N => N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI.
Ta chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng này chính là RN.
Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có :
BHN^=12sđ(BN^+AM^+AP^)=12sđBC^+sđAB^+sđAC^2
Vì BHN^ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và
BN^=BC^2; AM^=AB^2; AP^=AC^2⇒BHN^=14.360∘=90∘
=> RN là trung trực của đoạn thẳng BI => BR = RI
=> RBI cân tại R B1^=RIB^ mà B1^=B2^⇒B2^=RIB^
=> IR // BC (Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau)
Cũng chứng minh tương tự ta cũng được IS // BC, từ điểm I ở ngoài đường thẳng BC ta chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với BC
=> R ; I ; S thẳng hàng.
Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

 Cách giải 2: (Hình 2)Theo giả thiết ta có MA^=MB^ do đó MN là phân giác của ANB^
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABN ta có: RARB=NANB (1)
Tương tự: NP là phân giác của tam giác ACN => SASC=NANC (2)
vì BN^=CN^ nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta được RARB=SASC
=> RS // BC (định lý Ta-lét đảo)
Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:
AIID=RARB mà NANB=RARB suy ra AIID=NANB
△BND ~△ANB (vì có góc BNA^ chung và BAN^=NBD^)
Nên NANB=ABBD. Vậy AIID=ABBD
Suy ra BI là phân giác của góc ABC^
Ở trên ta có I thuộc phân giác AN của BAC^ ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác ABC^ nên I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.( Đpcm)