Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB.
a) Chứng minh rằng tứ giác \(BDEH\) là tứ giác nội tiếp
Vì \(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {EDB} = 90^\circ \)
Lại có: \(CH \bot AB\) nên \(\widehat {CHB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {EHB} = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(BDEH\) có: \(\widehat {EDB} + \widehat {EHB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \Rightarrow BDEH\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng \(A{B^2} = AE.AD + BH.BA\)
Vì \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) \(\left( 1 \right)\)
Ta lại có:
\(\widehat {ABC} + \widehat {CAB} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) có \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]);
\(\widehat {ACH} + \widehat {CAB} = 90^\circ \) (do \[\Delta ACH\] vuông tại \(H\)).
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACH}\left( 2 \right)\) (cùng phụ \(\widehat {CAB}\)).
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {ACH}\left( { = \widehat {ABC}} \right)\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {ACE}\).
Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADC\) có:
\(\widehat {CAD}\) là góc chung;
\(\widehat {ACE} = \widehat {ADC}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\).
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) (tỉ số đồng dạng)
\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AD\) \(\left( {\rm{*}} \right)\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\), đường cao \(CH\) ta có:
\(B{C^2} = BH.BA\) \(\left( {{\rm{**}}} \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ \(\left( {\rm{*}} \right)\) và \(\left( {{\rm{**}}} \right)\) suy ra \(A{C^2} + B{C^2} = AE.AD + BH.BA\)
Lại có \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) nên \(A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\) (định lý Pytago)
Vậy \(A{B^2} = AE.AD + BH.BA\).
c) Đường thẳng qua \(E\) song song với \(AB\), cắt \(BC\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(\widehat {CDF} = 90^\circ \) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OBD\) đi qua trung điểm của đoạn \(CF\)
• Vì \(EF//AB\) nên \(\widehat {CFE} = \widehat {CBA}\) (đồng vị)
Mà \(\widehat {CBA} = \widehat {CDA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn )
\( \Rightarrow \widehat {CFE} = \widehat {CDA}\)
Þ Tứ giác \(CDFE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \widehat {CDF} + \widehat {CEF} = 180^\circ \)
Ta lại có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CH \bot AB\left( {gt} \right)}\\{EF//AB\left( {gt} \right)}\end{array} \Rightarrow EF \bot CH \Rightarrow \widehat {CEF} = 90^\circ } \right.\]
\( \Rightarrow \widehat {CDF} = 180^\circ - \widehat {CEF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) (điều phải chứng minh).
• Gọi \(I\) là giao điểm của \(CF\) và đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OBD\).
Ta có: \(\widehat {ADB} = \widehat {ADF} + \widehat {FDB} = 90^\circ \);
\({\rm{\;}}\widehat {CDF} = \widehat {ADF} + \widehat {CDA} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {FBD} = \widehat {CDA}\) (cùng phụ với \(\widehat {ADF}\))
Mà \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn )
\( \Rightarrow \widehat {FDB} = \widehat {CBA}\left( { = \widehat {CDA}} \right)\)
Mà \(\widehat {CBA} = \widehat {OBI} = \widehat {ODI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OI\) )
\( \Rightarrow \widehat {FDB} = \widehat {ODI}\)
\( \Rightarrow \widehat {FDB} + \widehat {ODF} = \widehat {ODI} + \widehat {ODF}\)
\( \Rightarrow \widehat {ODB} = \widehat {IDF}\).
Ta có: tứ giác \(CDFE\) nội tiếp (chứng minh trên) nên \(\widehat {IFD} = \widehat {CFD} = \widehat {CED} = \widehat {AEH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn )
Ta lại có: \(\widehat {AEH} + \widehat {EAH} = 90^\circ ;\widehat {ABD} + \widehat {BAD} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {EAH} = \widehat {BAD}\) nên \(\widehat {AEH} = \widehat {ABD} = \widehat {OBD} \Rightarrow \widehat {IFD} = \widehat {OBD}\left( 4 \right)\)
Lại có : \(OD = OB\) (cùng bằng bán kính) nên \(\Delta OBD\) cân tại \({\rm{O}}\)
Do đó \(\widehat {OBD} = \widehat {ODB}\left( 5 \right)\)
Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat {IDF} = \widehat {IFD}\)
\( \Rightarrow \Delta IDF\) cân tại \(I\)
\( \Rightarrow ID = IF\) \(\left( {{\rm{***}}} \right)\)
Ta có: \(\widehat {IDF} + \widehat {IDC} = \widehat {CDF} = 90^\circ \); \(\widehat {IFD} + \widehat {ICD} = 90^\circ \) (do \(\Delta CDF\) vuông tại \(D\))
\( \Rightarrow \widehat {IDC} = \widehat {ICD} \Rightarrow \Delta ICD\) cân tại \(I\) nên \(IC = ID\) \(\left( {{\rm{****}}} \right)\)
Từ \(\left( {{\rm{***}}} \right)\) và \(\left( {{\rm{****}}} \right)\) suy ra \(IC = IF\left( { = ID} \right)\)
Vậy \(I\) là trung điểm của \(CF\).