Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi điểm H là trực tâm của tam giác ABC. a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường t

7/9

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Vẽ các đường cao \[AD\], \[BE\], \[CF\] của tam giác $ABC$. Gọi điểm $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $F$, $H$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $AD.AM = AB.AC$.

c) Gọi điểm $P$ là giao điểm của đường thẳng $AH$ và đường thẳng $EF$. Gọi điểm $I$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ và đường thẳng $BC$. Gọi điểm $K$ là trung điểm của đoạn thẳng$BC$. Chứng minh các điểm $H$, $K$, $M$ thẳng hàng và $PI{\rm{//}}HK$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi điểm H là trực tâm của tam giác ABC. a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường t (ảnh 1)

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $F$, $H$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

* Vì \[BE\] là đường cao của $\Delta ABC$ nên $BE \bot AC$

$ \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ $ hay $\Delta AEH$ vuông tại $E$

suy ra ba điểm $A$, $E$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ $\left( 1 \right)$

* Vì \[CF\] là đường cao của $\Delta ABC$ nên $CF \bot AB$

$ \Rightarrow \widehat {AFH} = 90^\circ $ hay $\Delta AFH$ vuông tại $F$

suy ra ba điểm $A$, $F$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra bốn điểm $A$, $F$, $H$, $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$

b) Chứng minh $AD.AM = AB.AC$.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACM} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AMC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ $

$\widehat {ABD} = \widehat {AMC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

$\Rightarrow Δ A B D ∽ Δ A M C$ (g.g)

$ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}$ (cạnh tương ứng)

$ \Rightarrow AD.AM = AB.AC$ (đpcm).

c) Chứng minh các điểm $H$, $K$, $M$ thẳng hàng và $PI{\rm{//}}HK$.

* Chứng minh $H$, $K$, $M$ thẳng hàng.

Ta có \[CH{\rm{//}}BM\] (cùng vuông góc với $AB$).

\[BH{\rm{//}}CM\] (cùng vuông góc với \[AC\])

⇒ Tứ giác \[BHCM\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Do $K$ là trung điểm của đường chéo $BC$, nên $K$ cũng phải là trung điểm của đường chéo $HM$. Vậy $H$, $K$, $M$ thẳng hàng (đpcm).

* Chứng minh $PI{\rm{//}}HK$.

Ta có $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$ (cùng chắn cung $MC$)

$\widehat {{E_1}} = \widehat {ABC}$ (cmt)

Nên $\widehat {{A_1}} + \widehat {{E_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {ABC} = \widehat {ABM} = 90^\circ $

Trong $\Delta AJE$ có $\widehat {{A_1}} + \widehat {{E_1}} = 90^\circ $ nên $\widehat {AJE} = 90^\circ $ hay $EF \bot AM$

Xét $\Delta AJE$ và $\Delta ACM$có:

${\hat A_1}$ chung.

$\widehat {AJE} = \widehat {ACM} = 90^\circ $

$\Rightarrow Δ A J E ∽ Δ A C M$ (g.g).

$ \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AM}}$ (cạnh tương ứng)

$ \Rightarrow AJ.AM = AE.AC$ (1)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta ADC$có

$\widehat {HAE}$chung.

$\widehat {AEH} = \widehat {ADC} = 90^\circ $

$\Rightarrow Δ A E H ∽ Δ A D C$ (g.g)

$ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ (cạnh tương ứng)

$ \Rightarrow AH.AD = AE.AC$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AD \cdot AH = AJ \cdot AM$$ \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AM}}$ $\left( 3 \right)$

Xét $\Delta APJ$ và $\Delta AID$ có:

$\widehat {{A_2}}$ chung; $\widehat J = \widehat D = 90^\circ $

$\Rightarrow Δ A P J ∽ Δ A I D$ (g.g)

$ \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{{AP}}{{AI}}\,\,\,\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta có $\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}$

$ \Rightarrow PI{\rm{//}}HM$ (Thales đảo)

hay $PI{\rm{//}}HK$