Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao AD , BE cắt nhau tại H . Biết HD : HA = 1 : 2 . a) BD = AD ⋅ tan B .

a) Sai. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong \(\Delta ABD\) vuông tại \(D,\) ta có \(BD = AD \cdot \cot B.\)

b) Đúng. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong \(\Delta ACD\) vuông tại \(D,\) ta có \(AD = CD \cdot \tan C.\)

c) Đúng. Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADC\) có: O10-2024-GV154

\(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\));

\(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \).

Do đó .

Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(BD \cdot CD = DH \cdot AD\).

d) Đúng. Theo giả thiết: \(\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}\)O10-2024-GV154 hay \(\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) nên \(AD = 3HD.\)

Do đó \(\tan B \cdot \tan C = \frac{{3HD}}{{DH}} = 3\).