Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.

Lời giải

M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC.

⇒ MN // BC hay MN // HP ⇒ MNPH là hình thang (1)

Mặt khác: Tam giác vuông ABH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(HM = \frac{{AB}}{2} = MB\)⇒ ∆MHB cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {MHB} = \widehat {MBH}\]

Mà \[\widehat {MBH} = \widehat {NPC}\] (hai góc đồng vị do NP //AB) \[ \Rightarrow \widehat {MHB} = \widehat {NPC}\]

\[ \Rightarrow {180^{\rm{o}}} - \widehat {MHB} = {180^{\rm{o}}} - \widehat {NPC}\]

Hay \[\widehat {MHP} = \widehat {NPH}\](2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNPH là hình thang cân.