Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Gọi O là giao điểm của MC và BP.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì MN = NP nên N là trung điểm của MP.

Xét tứ giác AMCP, ta có hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên nó là một hình bình hành.

Chưa đủ cơ sở để khẳng định AMCP là hình thoi.

b) Đúng. Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác.

Suy ra MN // BC hay MP // BC.

c) Đúng. Vì AMCP là hình bình hành nên BM // CP.

Xét tứ giác BMPC có BM // CP và MP // BC nên BMPC là hình bình hành.

Khi đó BP và MC cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét ∆BMP có N, O lần lượt là trung điểm của MP, BP nên NO là đường trung bình của tam giác. Suy ra NO // BM hay NO // AB.

d) Đúng. Chứng minh tương tự ý c), ta có OI là đường trung bình của tam giác BMC nên OI // BM.

Qua điểm O có hai đường thẳng NO, OI song song với BM nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng NO, OI trùng nhau hay ba điểm N, O, I thẳng hàng.

Mặt khác, vì NO là đường trung bình của ∆BMP nên \(NO = \frac{1}{2}BM.\)

Vì OI là đường trung bình của ∆BMC nên \(OI = \frac{1}{2}BM.\)

Như vậy, NO = OI. Do đó O là trung điểm của NI.