Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M

a) Xét (O) có ΔBMC nội tiếp và BC là đường kính

Do đó: ΔBMC vuông tại M

⇒ BM ⊥ MC tại M

⇒ CM ⊥AB tại M

Xét (O) có ΔBNC nội tiếp và BC là đường kính

Do đó: ΔBNC vuông tại N

⇒ BN ⊥ NC tại N

⇒ BN ⊥ AC tại N

Xét ΔABC có BN, CM là đường cao

BN cắt CM tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

b) Xét tứ giác AMHN có: \(\widehat {AMH} + \widehat {ANH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

⇒A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Gọi giao điểm của AH với BC là F

Xét ΔABC có: H là trực tâm của ΔABC

F là giao điểm của AH với BC

Do đó: AH ⊥ BC tại F

⇒ ΔAFB vuông tại F

⇒\(\widehat {ABF} + \widehat {BAF} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {ABF} + \widehat {MCB} = 90^\circ \)(do ΔCMB vuông tại M)

Nên: \(\widehat {MCB} = \widehat {BAF}\)

Lại có: \[\widehat {EMO} = \widehat {EMH} + \widehat {OMH} = \widehat {EMH} + \widehat {OCM} = 90^\circ - \widehat {MAH} + \widehat {MCB} = 90^\circ \]

Vậy EM là tiếp tuyến của (O).