Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc AB, HE vuông góc AC.

a. ∆AHB \(\left( {\widehat H = 90^\circ } \right)\) : HD là đường cao

\( \Rightarrow A{H^2} = AD.AB\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

\(\Delta AHC\left( {\widehat H = 90^\circ } \right)\): HE là đường cao

\( \Rightarrow A{H^2} = AE.AC\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD.AB = AE.AC

b. \(\Delta AHB\left( {\widehat H = 90^\circ } \right)\): AH là đường cao

\( \Rightarrow A{H^2} = AD.AB;B{H^2} = BD.AB \Rightarrow \frac{{A{H^2}}}{{B{H^2}}} = \frac{{AD.AB}}{{BD.AB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\)(đpcm).