Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Xét ∆ABH có M và K lần lượt là trung điểm của AB và AH nên MK là đường trung bình của tam giác. Từ đó suy ra MK // BH hay MK // BC.

b) Đúng. Xét ∆AHC có N và K lần lượt là trung điểm của AC và AH nên KN là đường trung bình của tam giác. Từ đó suy ra KN // HC hay KN // BC.

c) Sai. Từ lập luận ở câu a và b, qua cùng một điểm K nằm ngoài đường thẳng BC có hai đường thẳng chứa đoạn MK và KN cùng song song với BC. Theo Tiên đề Euclid, hai đường thẳng này buộc phải trùng nhau. Do đó, ba điểm M, K, N thẳng hàng.

d) Đúng. Theo tính chất đường trung bình, ta có \(MK = \frac{1}{2}BH\) và \(KN = \frac{1}{2}HC.\)

Khi bổ sung điều kiện tam giác ABC cân tại A, đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến, nên H trở thành trung điểm của BC.

Khi đó, BH = HC, từ đó suy ra MK = KN. Kết hợp với việc M, K, N thẳng hàng (đã chứng minh ở ý c), ta có K là trung điểm của MN.