Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE Chứng minh BN vuông góc CM

Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD ⊥ AC, CE ⊥ AB.

Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = \widehat {ACE} + \widehat A = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).

Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\), suy ra \(\widehat {ABN} = \widehat {DBN} = \widehat {ACM} = \widehat {ECM}\).

Do ∆CEM vuông tại E nên\(\widehat {ECM} + \widehat {EMC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABN} + \widehat {EMC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} = 90^\circ \).

Trong tam giác MOB có: \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} + \widehat {BOM} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BOM} = 180^\circ - \left( {\widehat {MBO} + \widehat {BMO}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy BN ⊥ CM.