Cho tam giác ABC nhọn các đường cao AD và BE cắt tại H. Gọi M là trung điểm BC

a) Vì H đối xứng với P qua BC nên BC là đường trung trực của HP, hay HP⊥BC tại trung điểm của HP.

Suy ra D là trung điểm của HP nên \(\frac{{HD}}{{PQ}} = 1\)            (1)

Mặt khác: H đối xứng với Q qua M nên M là trung điểm của HQ nên \(\frac{{HM}}{{MQ}} = 1\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{HD}}{{DP}} = \frac{{HM}}{{MQ}}\)

Theo định lý Talet đảo thì DM // PQ hay BC // PQ (đpcm)

Tứ giác DMQP có DM // PQ và \(\widehat D = 90^\circ \) do HP⊥BC tại D

Do đó tứ giác DMQP là hình thang vuông.

b) Tứ giác HCQB có hai đường chéo BC, HQ cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên suy ra HCQB là hình bình hành (đpcm).