Cho tam giác ABC nhọn (AB nhỏ hơn AC) nội tiếp đường tròn (O)

a, Ta có: BC là dây cung, I là trung điểm của BC

=> OI ⊥ BC

Xét tứ giác SAOI có:

∠SAO = 900 (Do SA là tiếp tuyến của (O))

∠SOI = 900 (OI ⊥ BC)

=> ∠SAO + ∠SOI = 1800

=> Tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp

b, Tam giác AOD cân tại O có OH là đường cao

=> OH cũng là trung trực của AD

=> SO là trung trực của AD

=> SA = SA => ΔSAD cân tại S

=> ∠SAD = ∠SDA

Ta có:

∠SAD=∠SDA∠OAD=∠ODA => ∠SAD + ∠OAD = ∠SDA + ∠ODA

⇔ ∠SAO = ∠SDO ⇔ ∠SDO = 900

Vậy SD là trung tuyến của (O)

c, Xét ΔSAB và ΔSCA có:

∠ASC là góc chung

∠SAB = ∠ACB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

=> ΔSAB ∼ ΔSCA

=> SASC = SBSA

=> SB.SC=SA2 (1)

ΔSAO vuông tại O có AH là đường cao

=> SA2=SH.SO (2)

Xét ΔSKH và ΔSOI có:

∠OSI là góc chung

∠SHK = ∠SIO = 900

=> ΔSKH ∼ ΔSOI

=> SKSO = SHSI => SK.SI = SH.SO (3)

Từ (1), (2) và (3) => SK.SI = SB.SC

d, Ta có: ∠PMQ = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> PS ⊥ MQ

Xét ΔSAM và ΔSPA có:

∠ASP là góc chung

∠SAM = ∠SPA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)

=> ΔSAM ∼ ΔSPA

=> SASP = SMSA => SP.SM=SA2

Do đó ta có:

SP.SM = SK.SI <=> SMSI = SKSP

Xét ΔSKM và ΔSPI có:

SMSI = SKSP

∠ISP là góc chung

=> ΔSKM ∼ ΔSPI

=> ∠SMK = ∠SIP = 900 => MK ⊥ SP

Ta có: PS ⊥ MQ ; MK ⊥ SP => M;Q;K thẳng hàng