Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O, đường kính BC lần lượt cắt AB

a) Ta có: BC là đường kính của (O) suy ra CM⊥AB, BN⊥AC.

Mà BN∩CM=H suy ra H là trực tâm tam giác ∆ABC

⇒AK⊥BC (đpcm)

b) Ta có: CM⊥AB, BN⊥AC

⇒cosA^=AMAC=ANAB

⇒AM.AB=AN.AC (đpcm)

c) Ta có:

AK⊥BC, BN⊥AC,CM⊥AB.

Suy ra ta có những tứ giác sau là những tứ giác nội tiếp:

AMHN, MHKB, ANKB.

⇒KMH^=KBH^=KBN^=KAN^=HAN^=HMN^

⇒KMH^=HMN^

Suy ra MH là phân giác góc NMK.

d) Ta có:

SMB^+BMN^=180°

NCB^+BMN^=180°

Suy ra SMB^=NCB^

⇒ΔSMB∽  ΔSCN(g.g)

⇒SMSC=SBSN

⇒SM.SN=SC.SB(1)

Theo câu c) ⇒NMK^=2CMN^=2NBC^=NOC^

Suy ra MNOK nội tiếp.

⇒SKM^=MNO^

ΔSMK∽  ΔSON(g.g)

⇒SMSO=SKSN⇒SM.SN=SK.SO(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SB.SC= SK.SO