Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, BC lần lượt tại E và F, E khác B,F khác (C). Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại H tia AH cắt BC tại K

7/7

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$). Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt hai cạnh$AB$, $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$($E$ khác $B$, $F$ khác $C$). Các đoạn thẳng $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $H$, tia$AH$ cắt $BC$ tại $K$.

a) Chứng minh bốn điểm \[\;A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}H,{\rm{ }}F\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $H$). Chứng minh $B{D^2} = BK.BC$ và \[\widehat {BDH} = \widehat {BFD}\].

c) Cho $\widehat {BAC} = 60^\circ $ và \[BC = 6\,\,{\rm{cm}}\]. Tính diện tích phần hình giới hạn bởi cung $EDF$ và dây $EF$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, BC lần lượt tại E và F, E khác B,F khác (C). Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại H tia AH cắt BC tại K (ảnh 1)

a) Chứng minh bốn điểm\[\;A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}H,{\rm{ }}F\]cùng thuộc một đường tròn.

Ta có (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $EC \bot AB$ tại $E$và $BF \bot AC$ tại $F$

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$và $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $H$). Chứng minh$B{D^2} = BK.BC$ và \[\widehat {BDH} = \widehat {BFD}\].

Ta có (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta lại có $EC \bot AB$ tại $E$ và $BF \bot AC$ tại $F$.

Mà $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $H$.

Do đó $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Suy ra $AH \bot BC$ tại $K$.

Chứng minh được $Δ B D K ∽ Δ B C D$ .

Suy ra $\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BD}}$ hay $B{D^2} = BK.BC$.

Do $Δ B D K ∽ Δ B C D$ (cmt) suy ra $\widehat {BDH} = \widehat {BCD}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat {BCD} = \widehat {BFD}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[BD\]).

Nên $\widehat {BDH} = \widehat {BFD}$.

c) Cho $\widehat {BAC} = 60^\circ $ và \[BC = 6cm\]. Tính diện tích phần hình giới hạn bởi cung $EDF$ và dây $EF$.

Do $\Delta AFB$ vuông tại \[F\] nên $\widehat {ABF} = 90^\circ - \widehat {BAF} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[EF\])

Suy ra $\widehat {EOF} = 2 \cdot 30^\circ \, = 60^\circ $.

Xét tam giác \[EOF\] cân tại \[O\] (do OE = OF) có $\widehat {EOF} = 60^\circ $ nên tam giác \[EOF\] là tam giác đều.

Suy ra $EF = OF = OE = \frac{1}{2}BC = 3cm$

Diện tích hình quạt \[EOF\] là: \[{S_{qEOF}} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.3}^2}.60}}{{360}} = \frac{3}{2}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Diện tích tam giác \[EOF\] là: \[{S_{\Delta EOF}} = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Vậy diện tích phần giới hạn bởi cung \[EDF\] và dây \[EF\] là:

\[S = \frac{3}{2}\pi - \frac{{9\sqrt 3 }}{4} \approx 0,8\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]