Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao BD và CE

a) Ta có: \(\sin \widehat A = \frac{{CE}}{{CA}} \Rightarrow CE = AC.\sin \widehat A = 6\sqrt 3 \)

AE = \(\sqrt {A{C^2} - C{E^2}} = 6\)

b) Xét ΔADB, ΔAEC có:

Chung \(\widehat A\)

\(\widehat D = \widehat E = 90^\circ \)

⇒ ΔADB ∽ ΔAEC(g.g)

⇒ \(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mà \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\)

⇒ ΔADE ∽ ΔABC (c.g.c)

c) Từ câu b: ΔADE ∽ ΔABC suy ra: \(\widehat {AED} = \widehat {ACB}\)

⇒ \(\widehat {FEB} = \widehat {AED} = \widehat {ACB} = \widehat {FCD}\)

Mà \(\widehat {EFB} = \widehat {DFC}\)

Xét ΔFBE và ΔFDC có:

\(\widehat {EFB} = \widehat {DFC}\)

\(\widehat {FEB} = \widehat {FCD}\)

⇒ ΔFBE ∽ ΔFDC(g.g)

⇒ \(\frac{{FB}}{{FD}} = \frac{{FE}}{{FC}}\)

⇒ FB.FC = FD.FE.