Cho tam giác ABC nhọn, 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I. Gọi E và F là

a. Xét ∆ABC ta có: AN = NB; AM = MC (gt)

Nên MN là đường trung bình của ∆ABC ⇒ MN // BC (1), MN = \(\frac{1}{2}BC\)(2)

Xét ∆BCI, ta có: BE = EI (gt), CI = IF (gt)

Nên EF là đường trung bình của ∆BIC ⇒ EF // BC (3), EF = \(\frac{1}{2}BC\)(4)

Từ (1) và (3) ⇒ MN // EF (5)

Từ (2) và (4) ⇒ MN = EF (6)

Từ (5) và (6) ⇒ MNEF là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết 3)

b. Xét tứ giác EFHK, ta có:

EF // HK (Vì H, K ∈ BC, mà BC // EF)

EH // FK (Vì H ∈ NE, K ∈ MF, mà NE // MF)

Do đó, tứ giác EFKH là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết 1) ⇒ EF = HK (7)

Mà EF = \(\frac{1}{2}BC\) (theo (4)) (8)

Từ (7) và (8) ⇒ HK = \(\frac{1}{2}BC\).