Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H. a) Giả sử ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng ∆ABE ᔕ ∆ACF; từ đó suy ra ∆AEF ᔕ ∆ABC. Kết quả đó c

a) Khi tam giác ABC nhọn ta có hình bên.

Xét tam giác vuông ABE (vuông tại E) và tam giác vuông ACF (vuông tại F) có góc A chung nên ∆ABEᔕ ∆ACF. Suy ra \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}.\]

Xét tam giác AEF và tam giác ABC có \(\widehat A\) chung và \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\) nên ∆AEFᔕ ∆ABC (c.g.c).

Khi tam giác ABC là tam giác tù, chẳng hạn góc A tù hoặc góc B tù, tương ứng ta có hai hình sau (HS tự vẽ):

Trường hợp góc A tù

Trường hợp góc B tù

Chứng minh tương tự, ta thấy kết quả vẫn đúng.

b) Theo định lí Pythagore, trong tam giác ABE vuông tại E, ta có:

AB² = AE² + BE²

AE² = AB² – BE²

AE² = 10² – 8² = 36 = 6²

Suy ra AE = 6 cm.

Theo kết quả câu a), ta có:

∆AEFᔕ ∆ABC suy ra \(\frac{{EF}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) hay \(EF = \frac{{BC.AE}}{{AB}} = \frac{{15.6}}{{10}} = 9\) (cm).

Trả lời: EF = 9 cm.