Cho tam giác ABC. I nằm trên BC cho 2CI = 3BI. J nằm trên đường thẳng BC cho 5JB = 2JC. G là

a) I là điểm trên cạnh BC mà: 2CI = 3BI. Suy ra: BICI=23

⇒ BICI+BI=23+2=25 ⇒ BIBC=25

⇒ BI=25BC tương tự CI=35BC

J là điểm nằm trên BC kéo dài: 5JB = 2JC ⇒ JBJC=25

⇒ JBJC−JB=25−2=23⇒ JBBC=23

⇒ JB=23BCvà BC=33JC

AB→=AI→+IB→=AI→−25BC→=AI→−25.32JB→=AI→−35JB→=AI→−35JA→+AB→=AI→+35AJ→−35AB→

⇒ AB→+35AB→=AI→+35AJ→

⇒ AB→=58AI→+38AJ→

AC→=AI→+IC→=AI→+35BC→=AI→+35.35.JC→=AI→+925JA→+AC→

⇒ AC→−925AC→=AI→+925JA→

⇒ AC→=2516AI→−916AJ→

b) Lấy K là đối xứng của A qua H

Ta có: AK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H. Do đó ABKC là hình bình hành

Vì G là trọng tâm nên: AG→=23AH→=23.12.AB→+AC→  (sử dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABKC, H là trung điểm của BC)

AG→=13.AB→+AC→=13.58.AI→+38AJ→+2516AI→−916AJ→=3548AI→−116AJ→