Cho tam giác ABC . Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Tính: vecto AM ⋅ vecto BC + vecto BN ⋅ vecto CA + vecto CE ⋅ vecto AB .

Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên:

\(2\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC} (1)\)

Tương tự ta có: \(2\overrightarrow {BN}  \cdot \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {CA} (2)\),

\(2\overrightarrow {CE}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB} (3)\)

Cộng từng vế (1), (2), (3) được:

\(2\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {BN}  \cdot \overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {CE}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\) hay \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BN}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CE}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\) (đpcm).