Cho tam giác ABC, gọi BM và CN lần lượt là các đường trung tuyến sao cho BM vuông góc với CN. Chứng minh cotA = 2 (cotB + cotC).

Theo định lý cosin: cosA = b2+c2−a22bc

Và sinA = a2R

cotA = cosAsinA=b2+c2−a22bc:a2R=b2+c2−a2abc.R=b2+c2−a24S (*)

Lại có theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

BM² = a2+c22−b24

CN² = c2+b22−a24

Suy ra: a² = BC² = BG² + GC² = 49BM2+49CN2 = 49a2+c22−b24+49c2+b22−a24

⇔ a² = 49b2+c24+a2

⇔ 9a² = b² + c² + 4a²

⇔ 5a² = b² + c² (**)

Thay (**) vào (*): cotA = 5a2−a24S=4a24S=a2S1

Mặt khác cotB + cotC = a2+c2−b24S+a2+b2−c24S

⇒ cotB + cotC = 2a24S=a22S (2)

Từ (1) và (2) suy ra: cotA = 2 (cotB+cotC) = a2S

Vậy cotA = 2 (cotB + cotC).