Cho tam giác ABC, góc A = 60^o, AB + AC = 8cm. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

Lời giải  

Kẻ BH ⊥ AC tại H

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

\[sinA = \frac{{BH}}{{AB}}\]⇒ BH = AB . sinA

Mặt khác \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\)

Ta có: AB + AC = 8 cm

\[ \Rightarrow 0 \le AB{\rm{ }}.{\rm{ }}AC \le {\left( {\frac{{AB + AC}}{2}} \right)^2} = 16\] (BĐT Cauchy)

\({S_{\Delta ABC}} \le \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt 3 \)(cm²)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB = AC = 4 (cm).

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là \(4\sqrt 3 \)cm² khi AB = AC = 4 cm.