Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB, lấy điểm E sao cho DE=DB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CE. Gọi I,K lần lượt là giao điểm của AM,AN với BE.

a) Đúng.

Tam giác \(ABC\) có \(AM,\,\,BD\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

b) Sai.

Khi đó \(BI = \frac{2}{3}BD\) (1)

Vì vậy \(BD - ID = \frac{2}{3}BD\).

Suy ra \(ID = \frac{1}{3}BD\) (2)

Từ (1), (2), suy ra \(BI = 2ID\) (*)

c) Đúng.

Chứng minh tương tự, ta được \(EK = 2DK\) (**)

Ta có \(DB = DE\) (giả thiết)

Suy ra \(DI + BI = DK + KE\).

Khi đó \(DI + 2DI = DK + 2DK\).

Vì vậy \(3DI = 3DK\) hay \(DI = DK.\)

Suy ra \(DI = DK\)(***)

d) Sai.

Khi đó \(DI + DK = DK + DK\).

Vì vậy \(IK = 2DK\) (****)

Từ (*), (**), (***), (****), suy ra \(BI = IK = KE\).