Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy AN

Kẻ hai đường cao AD, CF tới đường thẳng BN.

Ta có: M là điểm chính giữa cạnh AB\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)

CN = 2AN\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

 S_AKM = S_BKM (Do có cùng chiều cao hạ từ K xuống AB và đáy MA = MB)

Mà S_ACM = S_BCM (Do có cùng chiều cao hạ từ C xuống AB và đáy MA = MB)

Nên suy ra S_AKC = S_BKC

Lại có: \({S_{AKN}} = \frac{1}{2}{S_{CKN}}\) (Do có cùng chiều cao hạ từ K xuống AC và đáy CN = 2AN)

Do đó nếu coi A, C là đỉnh thì 2 tam giác trên có diện tích gấp đôi nhưng chung đáy NK nên chiều cao phải gấp đôi nhau

Suy ra \(AD = \frac{1}{2}CF\)

Do đó \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}{S_{COB}}\) (Do có chung đáy OB mà hai đường cao\(AD = \frac{1}{2}CF\))

Vậy \({S_{AKC}} = {S_{BKC}} = 2{S_{KAB}} = 2\,.\,42 = 84\;\left( {d{m^2}} \right)\)