Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD. M là điểm bất kì trên cạnh BC
Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: EI = IM = IA = 12AM.
Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: EID^=2.EAI^ (góc ngoài của tam giác).
Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có: MID^=2.IAD^ = 2, DI = 12AM.
Do đó: EI = DI ( = 12AM);
EID^=EIM^+MID^=2.EAD^=600
Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: EID^ = 600 nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.
Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF.
Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.
Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.
Gọi N là trung điểm của AH.
Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.
Do đó AN = NH = HD.
Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).
Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – clit) nên M, H, K thẳng hang.
Vậy D sai vì ID = IF.
Đáp án cần chọn là: D