Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường trung tuyến. Tính | vecto AC + vecto AH|

19/57

Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh \(a\), có \[AH\] là đường trung tuyến. Tính \[\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right|\].

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

\[2a\].

\[\frac{{a\sqrt {13} }}{2}\].

\[a\sqrt 3 \].

Giải thích

Lời giải

Chọn C.

Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường trung tuyến. Tính | vecto AC + vecto AH| (ảnh 1)

Dựng \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AH} \)\( \Rightarrow AHMC\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AM} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right| = AM\).

Gọi \(K\) đối xứng với \(A\) qua \(BC\) \( \Rightarrow \Delta AKM\) vuông tại \(K\).

\(AK = 2AH = a\sqrt 3 \) ; \(KM = CH = \frac{a}{2}\).

Khi đó, \(AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).