Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

5/10

$M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{4} B C^{2}$

$M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + B C^{2}$

$M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

$M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{3} B C^{2}$

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$

$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$

Do đó ta có:

$4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$

$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$

$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .

Ta có:

$A H^{2} = {\vec{A H}}^{2} = {(\vec{M H} - \vec{M A})}^{2} = {\vec{M H}}^{2} + {\vec{M A}}^{2} - 2 \vec{M A} . \vec{M H}$

$= M H^{2} + M A^{2} - 2. \frac{1}{4} . B C^{2}$

Do đó: $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$