Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Vẽ các điểm F, E, G sao cho B, M, C theo thứ tự là trung điểm của AF, AE và AG. Chứng minh ba điểm F, E, G thẳng hàng.

xét ΔBME và ΔCMA có:

BM = MC (giả thiết) 

BME^=CMA^ (đối đỉnh)

ME = MA
⇒ ΔBME = ΔCMA (c.g.c)

Suy ra: BE = AC và MBE^=MCA^

Mà 2 góc MBE^,MCA^ ở vị trí so le trong nên BE // AC

Suy ra: BAC^=EBA^(2 góc đồng vị)

Xét ΔFBE và ΔBAC có:

FB = BA

BAC^=EBA^

BE = AC

⇒ ΔFBE = ΔBAC (c.g.c)

⇒ ABC^=BFE^

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BC // EF (1)

chứng minh tương tự ta có ΔEMC = ΔAMB(c.g.c)

⇒ AB = EC (2 cạnh tương ứng) và BAC^=ECG^

chứng minh tương tự ta có ΔACB = ΔCGE (c.g.c)

Suy ra: ACB^=CGE^ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BC // EG (2)

Từ (1) và (2) ta có FE // BC; EG // BC   mà theo tiên đề Ơ-clit thì qua điểm E nằm ngoài đường thẳng BC chỉ có 1 đường thẳng song song vói đường thẳng đó

nên FE trùng EG hay F; E; G thẳng hàng.