Cho tam giác ABC có góc A = 60^0, phân giác AD. Chứng minh rằng AD = căn bậc hai của 3 AB.AC/AB + AC

Lời giải

Tam giác ABC có AD là tia phân giác.

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 30^\circ \).

Ta có S_ABC = S_ABD + S_ACD.

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat {BAD} + \frac{1}{2}AC.AD.\sin \widehat {CAD}\).

⇔ AB.AC.sin60° = AB.AD.sin30° + AC.AD.sin30°.

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 AB.AC}}{2} = \frac{{AB.AD}}{2} + \frac{{AC.AD}}{2}\).

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 AB.AC = AD.\left( {AB + AC} \right)\).

Vậy \(AD = \frac{{\sqrt 3 AB.AC}}{{AB + AC}}\) (điều phải chứng minh).