Cho tam giác ABC có góc A = 120 độ, AB = AC = a. Quay tam giác ABC

26/42

Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 120^\circ ,\) AB = AC = a. Quay tam giác ABC (bao gồm điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó bằng:

\(\frac{{\pi {a^3}}}{3}.\)

\(\frac{{\pi {a^3}}}{4}.\)

\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)

\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Cho tam giác ABC có góc A = 120 độ, AB = AC = a. Quay tam giác ABC (ảnh 1)

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích V₁, thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi V₂ thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hai khối nón.

Xét tam giác AOC vuông tại O, có:

• \(\sin 60^\circ = \frac{{OC}}{{AC}}\) ⇒ \(OC = AC.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

• \(\cos 60^\circ = \frac{{AO}}{{AC}}\) ⇒ \(OA = AC.\cos 60^\circ = \frac{a}{2}\) ⇒ \(OB = \frac{{3a}}{2}.\)

Do đó \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{1}{3}BO\,.\,\pi \,.\,O{C^2} - \frac{1}{3}OA\,.\,\pi \,.\,O{C^2}\)

\( = \frac{1}{3}\pi \,.\,O{C^2}\,\,.\,\,\left( {BO - OA} \right) = \frac{1}{3}\pi \,.\,{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\,.\,a = \frac{{\pi {a^3}}}{4}.\)