Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. So sánh diện tích tam giác AGB, BGC và

Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.

Suy ra CN, BM, AE là các đường trung tuyến của ΔABC

Do đó, CN, BM, AE cắt nhau tại G.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta có:

\[AG = \frac{2}{3}AE;\,\,BG = \frac{2}{3}BM;\,\,CG = \frac{2}{3}CN\]

Xét ΔAGB và ΔAEB có cùng đường cao hạ từ B xuống AE

Mà đáy \[AG = \frac{2}{3}AE\]

Suy ra \[{S_{AGB}} = \frac{2}{3}{S_{AEB}}\] (1)

Xét ΔAEB và ΔABC có cùng chung chiều cao hạ từ A xuống BC

Mà đáy \[BE = \frac{1}{2}BC\] (vì E là trung điểm của BC)

Suy ra \[{S_{AEB}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\] (2)

Từ (1) và (2) ta có: \[{S_{AGC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Chứng minh tương tự ta có: \[{S_{AGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}};\,\,{S_{BGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Suy ra \[{S_{AGB}} = \,\,{S_{BGC}} = {S_{AGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Vậy \[{S_{AGB}} = \,\,{S_{BGC}} = {S_{AGC}}\].