Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có: MA→+GC→=MA→+AE→=ME→

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó MA→+GC→=ME→=ME≥EF

Do đó MA→+GC→ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó GP=PE=12GE

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra BG=23BP,GP=13BP

Ta có: BE = BP + PE

Hay BE=BP+13BP=43BP

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

FBE^ là góc chung;

BQP^=BFE^=90°

Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g)

Do đó BPBE=BQBF=34⇒BF→=43BQ→

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay HQ→=12HC→; mà BH→=13HC→

Ta có: BQ→=BH→+HQ→=13HC→+12HC→=56HC→=56.34BC→=58BC→

Do đó: BF→=43BQ→=56BC→

Vậy x=56.