Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh diện tích tam ABC gấp 3 lần diện

Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.

Suy ra CN, BM, AE là các đường trung tuyến của ΔABC

Do đó, CN, BM, AE cắt nhau tại G.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta có:

\[CG = \frac{2}{3}CN\]

Xét ΔAGC và ΔANC có cùng đường cao hạ từ A xuống NC

Mà đáy \[CG = \frac{2}{3}CN\]

Suy ra \[{S_{AGC}} = \frac{2}{3}{S_{ANC}}\] (1)

Xét ΔANC và ΔABC có cùng chung chiều cao hạ từ C xuống AB

Mà đáy \[AN = \frac{1}{2}AB\] (vì N là trung điểm của AB)

Suy ra \[{S_{ANC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\] (2)

Từ (1) và (2) ta có: \[{S_{AGC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Vậy diện tích tam ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AGC.