Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC,

Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.

Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.

Nên BI = 23 BD (1)

Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.

Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.

Nên EK=23ED  (2)

Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE

Nên BD = DE = 12 BE (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

BI = EK = 23 BD = 23.12 BE = 13 BE.

Ta lại có: BI + IK + KE = BE.

Suy ra 13 BE + IK + 13 BE = BE

Suy ra IK = 13 BE.

Do đó BI = IK = EK (cùng bằng 13 BE).

Vậy BI = IK = EK.