Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E

Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.

Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC

Nên \[BI = \frac{2}{3}BD\,\,(1)\]

Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.

Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.

Nên \[EK = \frac{2}{3}ED\,\,(2)\] 

Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE

Nên \[BD = DE = \frac{1}{2}BE\,\,\](3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\[BI = EK = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BE\,\, = \frac{1}{3}BE\]

Ta lại có: BI + IK + KE = BE

\[\, \Rightarrow \frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE\]

\[ \Rightarrow IK = \frac{1}{3}BE\]

Do đó BI = IK = EK (cùng bằng \[\frac{1}{3}BE\])

Vậy BI = IK = EK.