Cho tam giác ABC có đường cao AH và BD cắt nhau tại I. a) Chứng minh 4 điểm C, D, I, H cùng thuộc 1 đường tròn. b) Chứng minh 4 điểm A, B, H, D cùng thuộc 1 đường tròn.

a) Xét tam giác DIC vuông tại D (BD ⊥ AC)

⇒ D, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC

Xét tam giác HIC vuông tại H (AH ⊥ BC)

⇒ H, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC

Vậy D, I, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính IC

b) Xét tam giác ABH vuông tại H (AH ⊥ BC)

⇒ A, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Xét tam giác ABD vuông tại D (BD ⊥ AC)

⇒ A, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Vậy A, B, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB

c) Gọi M là giao điểm của CI và AB

Xét tam giác BAC có: AH và BD là đường cao, AH ∩ BD ={I}

Nên I là trực tâm của tam giác BAC

Vậy AM là đường cao thứ 3 của tam giác ABC

Xét ∆ABH và ∆CBM có:

B^ chung

AHB^=CMB^=90°

⇒ ∆ABH ~ ∆CBM (g.g)

⇒ BCM^=HAB^ = 30°

Xét ∆HCI vuông tại H có: cosHCI^=CHCI⇒cos30°=4CI⇒CI=833cm

Mà đường tròn đi qua D, I, C, H là đường tròn đường kính IC

Suy ra bán kính đường tròn là 12CI=433cm.