Cho tam giác ABC có diện tích S và ngoại tiếp đường tròn ( I ; r ). Chứng minh rằng S = 1/2 r ( BC + CA + AB ) .

Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp \(({\rm{I}};{\rm{r)}}\) với các cạnh AB, AC và BC của tam giác ABC.

Ta có: \({\rm{S}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AIB}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AIC}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{BIC}}}}\)\( = \frac{1}{2}{\rm{ID}} \cdot {\rm{AB}} + \frac{1}{2}{\rm{IE}} \cdot {\rm{AC}} + \frac{1}{2}{\rm{IF}} \cdot {\rm{BC}}\)

Mà \({\rm{ID}} = {\rm{IE}} = {\rm{IF}} = {\rm{r}}\)\( \Rightarrow \;{\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{r}}({\rm{BC}} + {\rm{CA}} + {\rm{AB}})\)(đpcm)