Cho tam giác ABC có cot A/2, cot B/2, cot C/2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi hệ thức về mối liên hệ giữa ba cạnh a,b và c nào sau đây là đúng?

7/10

Cho tam giác ABC có $\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi hệ thức về mối liên hệ giữa ba cạnh a,b và c nào sau đây là đúng?

a² = bc;

b = a + c;

ab = ac + bc;

2b = a + c.

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Do $\cot \frac{A}{2},\,\cot \frac{B}{2},\,\cot \frac{C}{2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2} = 2\cot \frac{B}{2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{{\cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{A}{2} + \cos \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$ \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} = 2\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \left[ {\cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)} \right] \cdot \cos \frac{B}{2}$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}$

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\sin B\]

\[ \Leftrightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{1}{2}(\sin A + \sin C) \Leftrightarrow 2\sin {\rm{B}} = \sin {\rm{A}} + \sin {\rm{C}} \,\, (*)\]

Áp dụng định lí sin trong tam giác suy ra:

\[\sin {\rm{A}} = \frac{a}{{2R}}\,;\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}}\,;\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}\] thay vào (*) ta được:

\[2 \cdot \frac{b}{{2R}} = \frac{a}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} \Leftrightarrow 2\;{\rm{b}} = {\rm{a}} + {\rm{c}}\]

Do đó, ba cạnh của tam giác ABC tạo thành cấp số cộng.