Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c,BC = a,CA = b. Gọi G, I lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết IG vuông góc IC. Chứng minh rằng: (a + b) (a + b + c) = 6ab

Lời giải

Chứng minh được : \[a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow a\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA} } \right) + b\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CB} } \right) + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {CI}  = \frac{1}{{a + b + c}}\left( {a.\overrightarrow {CA}  + b.\overrightarrow {CB} } \right)\]

\[\overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {CI}  - \overrightarrow {CG}  = \left( {\frac{a}{{a + b + c}} - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {CA}  + \left( {\frac{b}{{a + b + c}} - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {CB} \]

\(IG \bot IC \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} .\overrightarrow {GI}  = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left[ {\left( {2a - b - c} \right)\overrightarrow {CA}  + \left( {2b - a - c} \right)\overrightarrow {CB} } \right]\left( {a\overrightarrow {CA}  + b\overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \left( {ab + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \right)\left[ {b\left( {2a - b - c} \right) + a\left( {2b - a - c} \right)} \right] = 0\]

(vì \[ab + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = ab + ab\cos C = ab\left( {1 + \cos C} \right) > 0\])

\[ \Leftrightarrow \]\[b\left( {2a - b - c} \right) + a\left( {2b - a - c} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow b\left( {3a - a - b - c} \right) + a\left( {3b - a - b - c} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) = 6ab\] (đpcm).