Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đẳng thức nào sau đây đúng?

12/22

Cho tam giác \[ABC\] có \[BC = a,\,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c.\] Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[BC.\]Đẳng thức nào sau đây đúng?

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\)

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\)

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\)

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\)

Giải thích

Chọn A

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] suy ra \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\,\overrightarrow {AM} \]

Khi đó \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\]