Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c . Biết M là trung điểm của BC . Tính vecto A M^2 ?

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\); \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\). Mà \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2};\)

Suy ra: \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2 \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\).

(đây cũng là công thức để tính độ dài đường trung tuyến tam giác).