Cho tam giác ABC có BC = 15 cm , CA = 18 cm và AB = 12 cm . Gọi I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm Δ ABC . a) Chứng minh

a) Gọi \(AD\) là đường phân giác góc \(BAC\)\(\left( {D \in BC} \right).\) Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}},\] hay \[\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}.\] Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \[\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC + DB}}{{AC + AB}} = \frac{{BC}}{{AC + AB}} = \frac{{15}}{{18 + 12}} = \frac{1}{2}.\]

Suy ra \(CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9{\rm{\;cm}}\) và \(BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta ACD,\) có \(CI\) là đường phân giác của \(\widehat {ACD}\) nên \(\frac{{AI}}{{DI}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{18}}{9} = 2.\)

Mặt khác, do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2.\)

Do đó \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) theo định lí Thalès đảo ta có \(IG\,{\rm{//}}\,BC.\)

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó \[MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5{\rm{\;cm}}.\]

Suy ra \(DM = BM - BD = 7,5 - 6 = 1,5{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta ADM\) có \(IG\,{\rm{//}}\,BC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{IG}}{{DM}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.\)

Suy ra \(IG = \frac{2}{3}DM = \frac{2}{3} \cdot 1,5 = 1{\rm{\;cm}}.\)