Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.(a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp

a) Chứng minh \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp.

Vì \[BD,CE\] là các đường cao của tam giác \[ABC\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\CE \bot AB\end{array} \right.\].

Suy ra \[\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \].

Gọi \[I\] là trung điểm của \[AH\], khi đó:

\[DI\] là đường trung tuyến của tam giác vuông \[DAH\] nên \[EI = \frac{1}{2}AH = IA = IH\].

\[DI\] là đường trung tuyến của tam giác vuông \[EAH\] nên \[DI = \frac{1}{2}AH = IA = IH\].

Vậy \[EI = DI = IA = IH\] hay bốn điểm \[A,D,H,E\] cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \[BCDE\] là tứ giác nội tiếp.

Gọi \[O\] là trung điểm của \[BC\].

Vì \[BD,CE\] là các đường cao của tam giác \[ABC\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\CE \bot AB\end{array} \right.\].

Suy ra \[\widehat {BDC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \].

Xét tam giác \[BDC\] có \[\widehat {BDC} = 90^\circ \] và \[DO\] là đường trung tuyến nên

\[OD = OC = OB = \frac{1}{2}BC\] (1).

Xét tam giác \[BEC\] có \[\widehat {BEC} = 90^\circ \] và \[EO\] là đường trung tuyến nên

\[OE = OC = OB = \frac{1}{2}BC\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra \[OD = OE = OC = OB = \frac{1}{2}BC\].

Vậy tứ giác \[BCDE\] nội tiếp đường tròn.