Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC). Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Từ B và C lần lượt kẻ BE, CF vuông

a) Vì \[AH\] là đường cao nên \(AH \bot BC\) suy ra \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(BE \bot AD\) nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) nên hai điểm \[H\] và \[E\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AB.\]

Vậy tứ giác \[ABHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AB.\]

b) ¬ Chứng minh \(HB.AC = AH.CD\)

Góc \(\widehat {ACD}\) chắn nửa đường tròn đường kính \[AD\] nên là góc vuông.

Xét \[\Delta AHB\] (vuông tại H) và \(\Delta ACD\) (vuông tại C) có: \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) vì cùng chắn cung \[AC.\]

Do đó $\Delta AHB\backsim \Delta ACD$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HB}}{{CD}}\) nên \(HB \cdot AC = AH \cdot CD\).

¬ Chứng minh \(HE\) vuông góc với \(AC\)

Vì \[ABHE\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ABH} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối)

Mà \(\widehat {HED} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {HED}.\)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (chứng minh trên) suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}.\)

Vì \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}\) và hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên \(HE\,{\rm{//}}\,DC\).

Mà \(AC \bot CD\) nên \[HE \bot AC.\]

c) Gọi \[I\] là trung điểm cạnh \[AB.\] Trong hai tam giác vuông \[AHB\] và \[AEB\]có \[HI\]và \[EI\]là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \(IH = IE = \frac{{AB}}{2}\).

Suy ra tam giác \[IHE\] là tam giác cân tại đỉnh \[I.\]

Đoạn thẳng \[IM\] nối hai trung điểm của tam giác \[ABC\] nên là đường trung bình, suy ra \[IM\,{\rm{//}}\,AC\]

Vì \[HE \bot AC\] nên \[IM \bot HE.\]

Trong tam giác cân \[IHE,\] đường cao \[IM\] xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy \[HE.\] Điểm \[M\] nằm trên đường trung trực nên cách đều hai đầu mút, ta có \(MH = ME\).

Chứng minh tương tự ý a), ta có tứ giác \[AHFC\] nội tiếp đường tròn tâm \[K\] (trung điểm \[AC).\] \[KM\] là đường trung bình song song với \[AB.\]

Chứng minh tương tự ý b) ta có \[HF \bot AB,\] suy ra \[KM \bot HF.\]

Đường cao \[KM\] của tam giác cân \[KHF\] là trung trực của \[HF,\] từ đó \(MH = MF\).

Vậy \(MH = ME = MF\).