Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BF, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác BEHD nội tiếp một đường tròn.

7/9

Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Các đường cao $AD,\,BF,\,CE$ của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$.

1. Chứng minh tứ giác $BEHD$ nội tiếp một đường tròn.

2. Kéo dài $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Kéo dài $KE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $I$. Gọi $N$ là giao điểm của $CI$ và $EF$. Chứng minh: $\widehat {AFE} = \widehat {ABD}$ và $C{E^2} = CN.CI$.

3. Kẻ $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$. Chứng minh ba điểm $M,\,N,\,P$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Vậy $M,\,N,\,P$ thẳng hàng. (ảnh 1)$

1. Chứng minh tứ giác $BEHD$ nội tiếp một đường tròn.

Vì $AD$ và $CE$ là các đường cao của tam giác $ABC$ nên $AD \bot BC$, $CE \bot AB$.

Suy ra $\widehat {BEH} = 90^\circ $, $\widehat {BDH} = 90^\circ $.

Suy ra $\Delta BEH$ vuông tại $E$, $\Delta BDH$ vuông tại $H$.

Suy ra $B,\,E,\,H,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$.

Suy ra tứ giác $BEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$.

+) Chứng minh $\widehat {AFE} = \widehat {ABD}$

Vì $BF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $BF \bot AC$.

Suy ra $\widehat {BFC} = 90^\circ $.

Suy ra tam giác $BFC$ vuông tại $F$.

Suy ra $B,\,F,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ (1).

Lại có tam giác $BEC$ vuông tại $E$ nên $B,\,E,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $B,\,E,\,F,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Suy ra tứ giác $BEFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.

Suy ra $\widehat {EFC} + \widehat {EBC} = 180^\circ $ (tính chất của tứ giác nội tiếp)

Lại có $\widehat {AFE} + \widehat {EFC} = 180^\circ $ (hai góc kề bù)

Suy ra \[\widehat {EBC} = \widehat {AFE}\] hay $\widehat {AFE} = \widehat {ABD}$.

+) Chứng minh $C{E^2} = CN.CI$

$Vậy $M,\,N,\,P$ thẳng hàng. (ảnh 2)$

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BEFC$ có \[\widehat {CEF} = \widehat {CBF}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CF$) (3)

Vì $\Delta BFC$ vuông tại $F$ nên $\widehat {CBF} + \widehat {BCF} = 90^\circ $ (4)

Vì $\Delta ADC$ vuông tại $D$ nên $\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 90^\circ $ hay $\widehat {KAC} + \widehat {BCF} = 90^\circ $ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\widehat {CBF} = \widehat {KAC}$ (cùng phụ với $\widehat {BCF}$) (6)

Từ (3) và (6) suy ra \[\widehat {CEF} = \widehat {KAC}\] (cùng bằng $\widehat {CBF}$)

Lại có $\widehat {KAC} = \widehat {KIC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $KC$ của đường tròn $(O;R)$.

Suy ra \[\widehat {CEF} = \widehat {KIC}\] hay \[\widehat {CEN} = \widehat {CIE}\].

Xét $\Delta CEN$ và $\Delta CIE$, có $\widehat {ECN}$ chung và \[\widehat {CEN} = \widehat {CIE}\] (cmt).

Vậy $Δ C E N ∽ Δ C I E$ (g-g).

Suy ra $\frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}}$ (cặp cạnh tương ứng).

Suy ra $C{E^2} = CI.CN$ (đpcm.

3. Kẻ $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$. Chứng minh ba điểm $M,\,N,\,P$ thẳng hàng.

$Vậy $M,\,N,\,P$ thẳng hàng. (ảnh 3)$

Bước 1: ta chứng minh $N$ là trung điểm của $FE$.

Kẻ $EG \bot AC$ tại $G$. Ta chứng minh $Δ C N G ∽ Δ C A I$

Xét $\Delta AEC$ và $\Delta EGC$ có :

$\widehat {ACE}$chung

$\widehat {EGC} = \widehat {AEC} = 90^\circ $

$\Rightarrow Δ A E C ∽ Δ E G C$ (g-g)

$ \Rightarrow \frac{{CE}}{{CG}} = \frac{{AC}}{{CE}}$( tính chất tam giác đồng dạng)

$ \Rightarrow C{E^2} = CA.CG$

Mà $C{E^2} = CI.CN$(cmt)

$ \Rightarrow CA.CG = CI.CN$

$ \Rightarrow \frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}$

Xét $\Delta CNG$ và $\Delta CAI$ có :

$\widehat {ACI}$chung

$\frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}$(cmt)

$\Rightarrow Δ C N G ∽ Δ C A I$ (g-g)

$ \Rightarrow \widehat {CIA} = \widehat {CGN}$( hai góc tương ứng)

Lại có $\widehat {AFE} = \widehat {ABD}$ (cmt) hay $\widehat {NFG} = \widehat {EBC}$

Ta có $\widehat {EBC} = \widehat {AIC}$( hai góc nội tiếp cùng chắn của $\left( {O;R} \right)$)

Mà $\widehat {CIA} = \widehat {CGN}$

$ \Rightarrow \widehat {NFG} = \widehat {NGC}$

$ \Rightarrow \Delta GNF$ cân tại $N$

$ \Rightarrow NG = NF$( tính chất tam giác cân)

Ta chứng minh được $\widehat {EGN} = \widehat {NEG}$( dựa vào các góc phụ nhau)

$ \Rightarrow \Delta GNE$ cân tại $N$

$ \Rightarrow NG = NE$( tính chất tam giác cân)

Do đó $NF = NE$

$ \Rightarrow N$ là trung điểm của $EF$.

Bước 2 : Ta chứng minh $MP$ đi qua trung điểm $N$.

Dễ chứng minh được tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$, có tâm $P$.

Suy ra $PE = PF$.

Mặt khác $\Delta BEC$ vuông tại $E$, $\Delta BFC$ vuông tại $F$lần lượt có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ là $EM$ và $FM$ nên suy ra $EM = FM = \frac{1}{2}BC$.

Suy ra $MP$ là đường trung trực của $EF$.

Suy ra $MP$ đi qua trung điểm $N$ của $EF$.

Vậy $M,\,N,\,P$ thẳng hàng.